Bạn đang xem bài viết Thể Tích Khối Chóp: Công Thức Và Bài Tập Ôn Tập Toán 12 được cập nhật mới nhất tháng 9 năm 2023 trên website Xfsq.edu.vn. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất.
Tài liệu Thể tích khối chóp tổng hợp toàn bộ kiến thức như hình chóp là gì, cách tích thể tích hình chóp, các dạng bài tập và ví dụ kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn lớp 12 có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài tập về thể tích khối chóp.
Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp. Đường cao của hình chóp là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác đáy: hình chóp tam giác có đáy là tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác.
– Công thức thể tích khối chóp
Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.
– Một phép vị tự tỉ số k biến khối đa diện có thể tích V thành khối đa diện thể tích V’ thì:
– Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác: Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S. ABC. Khi đó:
Phương pháp chung: tính diện tích đáy, các định chiều cao rồi áp dụng công thức
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp đều
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Dạng 3: Tính thể tích hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Dạng 4: Tính tỉ số thể tích của khối chóp
– Để tính tỉ số thể tích hai phần của một khối đa diện (H) được phân chia bởi một mặt phẳng (P) ta lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1:Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi (P) và (H) chai (H) thành hai hình (H’) và (H’’)
Bước 2: Dùng phương pháp tính thể tích đã biết để tính các thể tích V, V’ của hai hình (H’) và (H’’)
Bước 3: Tính tỉ số V/V’
Cách 2: Sử dụng kết quả:
Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy lần lượt các cặp điểm A và A’, B và B’, C và C’ khi đó ta luôn có:
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các mặt bên là những tam giác đều, AB=8m, O là trung điểm của AC. Hình chóp SABCD có mấy cạnh? Độ dài SO là bao nhiêu?
Giải:
Hình chóp SABCD là hình chóp tứ giác nên có 8 cạnh.
Hình chóp SABCD đều nên đáy ABCD là hình vuông và tam giác OAB vuông cân tại O.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OAB có
AB² = OB²+ OB²→ AB² = 2OA²
OA=
Hình chóp có các mặt bên là tam giác đều nên tam giác SAB là tam giác đều. Do đó:
SA = AB = 8m
Ta có SO vuông góc với OA nên tam giác SOA vuông tại O. Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
SB² = OS² + OA²
Câu 1: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết S A vuông góc với (ABCD) và S A=a sqrt{3}. Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
Advertisement
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2 a. Thể tích khối chóp chúng tôi bằng
Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật A B=a, B C=2 a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và Tính thể tích khối chóp S . ABCD.
Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2 a. Thể tích khối tứ diện S .BCD là:
Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2 a. Biết S A vuông góc với mặt phẳng đáy và Tính thể tích khối chóp S . A B O.
Công Thức Tính Độ Dài Đường Trung Tuyến Ôn Tập Toán 10
Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về đường trung tuyến là gì, tính chất đường trung tuyến trong tam giác, công thức tính đường trung tuyến và các dạng bài kèm theo. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10.
1. Đường trung tuyến là gì?– Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
2. Đường trung tuyến của tam giác– Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác– Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
Ví dụ:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:
Đường trung tuyến trong tam giác vuông
– Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
– Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC
Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.
4. Công thức đường trung tuyếnTrong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác
ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác
5. Bài tập về cách tính độ dài đường trung tuyếnBài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.
a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.
Hướng dẫn giải
a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC
Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A
Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Vậy AM vuông góc với BC
b. Ta có
BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172 – 82 = 225 ⇒ AM = 15cm
Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.
Hướng dẫn giải
Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC
Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên (1)
CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên (2)
BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên (3)
Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)
Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG
Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a) M là trung điểm của CD
b) AM = BC.
Hướng dẫn giải
a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác
Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b. A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra AM = 1/2 BC
Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:
Advertisement
a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;
b) GO = BC
Học sinh tự giải
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn giải
Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC
Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm
Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm
Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm
Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm
Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm
Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm
Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:
AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)
Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.
Học sinh tự giải
Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh
Hướng dẫn giải
Học sinh tự vẽ hình.
Xét tam giác BGC có:
⇒
………………..
Bài Tập Toán Lớp 6: Chuyên Đề Tập Hợp Tài Liệu Ôn Tập Môn Toán Lớp 6
I. MỤC TIÊU
– Rèn HS kỉ năng viết tập hợp, viết tập hợp con của một tập hợp cho trước, sử dụng đúng, chính xác các kí hiệu
– Sự khác nhau giữa tập hợp
– Biết tìm số phần tử của một tập hợp được viết dưới dạng dãy số có quy luật.
– Vận dụng kiến thức toán học vào một số bài toán thực tế.
II. NỘI DUNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Một tập hợp có thể có một, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào.
2. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là: Ø.
3. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A.
Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau, kí hiệu A=B.
Câu 1: Hãy cho một số VD về tập hợp thường gặp trong thực tế đời sống hàng ngày và một số VD về tập hợp thường gặp trong toán học?
Câu 2: Hãy nêu cách viết một tập hợp, các ký hiệu thường gặp trong tập hợp.
Câu 3: Một tập hợp có thể có bao nhiêu phần tử?
Câu 4: Có gì khác nhau giữa tập hợp và ?
Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
a) b A ;
b) c A ;.
c) h A
Lưu ý HS: Bài toán trên không phân biệt chữ in hoa và chữ in thường trong cụm từ đã cho.
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm cụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X.
Hướng dẫn
a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” hoặc “CÓ CÁ”
b/ X = {x: x-chữ cái trong cụm chữ “CA CAO”}
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8;10} ; B = {1; 3; 5; 7; 9;11}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
Advertisement
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Hướng dẫn:
a/ C = {2; 4; 6} ;
b/ D = {5; 9} ;
c/ E = {1; 3; 5}
d/ F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11}
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2;3;x; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Hướng dẫn
a/ {1} { 2} { a } { b} ….
b/ {1; 2} {1; a} {1; b} {2; a} {2; b} { a; b} ……
………
Tính Chất Trực Tâm Trong Tam Giác: Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Tập Ôn Tập Toán Lớp 7
Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác.
Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.
Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.
– Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.
– Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:
*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài làm
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC
Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC
Vậy CH vuông góc với AB.
Trực tâm của tam giác nhọn
Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
Trực tâm của tam giác vuông
Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Trực tâm của tam giác tù
Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác
A. Trắc nghiệm
Câu 1.
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Đáp án: D
Câu 2
Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.
Đáp án: A
Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho = = . Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?
A. Tam giác cân tại F
B. Tam giác vuông tại D
C. Tam giác cân tại D
D. Tam giác cân tại C
Đáp án: A
Bài 3: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:
A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M không thuộc đường trung trực của DE
Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra BM = MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A.
Xét ΔBCE có M là trung điểm của BC (gt) suy ra EM là trung tuyến
⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
Xét ΔBCD có M là trung điểm của BC (gt) suy ra DM là trung tuyến
⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C
Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D
Chọn đáp án D
A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO
Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có
+ OA = OC (vì O thuộc đường trung trực của AC )
+ OB = OE (vì O thuộc đường trung trực của BE )
+ AB = CE (giả thiết)
Do đó ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)
Chọn đáp án C
B, Tự luận
Bài 1
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
GIẢI
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 2: Cho hình vẽ
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
GIẢI
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b)
+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q có:
Bài 3:
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
GIẢI
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 4:
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Gợi ý đáp án
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 5: Cho hình vẽ
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Gợi ý đáp án
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b)
+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q có:
Bài 7:
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Gợi ý đáp án
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 8:
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
Gợi ý đáp án
a) ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b) Tương tự :
+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)
+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)
Bài 9
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Gợi ý đáp án:
BE là đường cao của vuông tại E.
CF là đường cao của vuông tại F.
AD là đường cao của vuông tại D.
+ Xét ∆ ABE vuông tại E và ∆ AFC vuông tại F có:
BE = CF
chung
(góc nhọn và một cạnh góc vuông).
+ Xét ∆CDA vuông tại D và ∆ AFC vuông tại F có:
AC chung
AD = CF
(cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
cân tại B
Từ (1), (2) ta có: AB = AC = BC
đều.
Bài 10
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:
a) DE vuông góc với BC.
b) BE vuông góc với DC.
Gợi ý đáp án:
a) Gọi F là giao điểm của DE và BC
+ ∆ ABC vuông cân tại A
+ Xét ∆EFC có:
Mà DE giao với CA tại E
Bài 11
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.
Gợi ý đáp án:
Gọi MH giao với BC tại điểm I.
+ Xét ∆MBH và ∆CBH có:
MB = MC
BH chung
+ Xét tam giác ABC vuông tại A có:
+ Ta có:
+ Xét tam giác BMI có:
.
Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: IJ ⊥ EF
b) Chứng minh: IE ⊥ JE
Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF
b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE
c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC
Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).
Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm chúng tôi cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.
Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.
42 Đề Ôn Tập Hè Môn Toán Lớp 5 Đề Cương Ôn Tập Hè Môn Toán Lớp 5
Bài 1:
a) Viết thương dưới dạng phân số.
8 : 15
7 : 3
23 : 6
b) Viết số tự nhiên dưới dạng phân số.
19; 25; 32
Bài 2: Qui đồng mẫu số các phân số sau:
a) và
b) và
Bài 3: (HSKG): Tìm các phân số bằng nhau trong các phân số sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 1: Mua 20 cái bút chì hết 16000 đồng. Hỏi mua 21 cái bút chì như vậy hết bao nhiêu tiền?
Bài 2: Có một nhóm thợ làm đường, nếu muốn làm xong trong 6 ngày thì cần 27 công nhân. Nếu muốn xong trong 3 ngày thì cần bao nhiêu công nhân?
Bài 3: Cứ 10 công nhân trong một ngày sửa được 37 m đường. Với năng suất như vậy thì 20 công nhân làm trong một ngày sẽ sửa được bao nhiêu m đường?
Bài 4: (HSKG)
Có một số quyển sách, nếu đóng vào mỗi thùng 24 quyển thì cần 9 thùng. Nếu đóng số sách đó vào mỗi thùng 18 quyển thì cần bao nhiêu thùng?
Bài 1: Lan mua 4 hộp bút màu hết 16000 đồng. Hỏi Hải mua 8 hộp bút như vậy hết bao nhiêu tiền?
Bài 2: Bà An mua 7 hộp thịt hết 35000 đồng. Bà Bình mua nhiều hơn bà An là 4 hộp thịt thì phải trả bao nhiêu tiền?
Bài 3: (HSKG)
Mẹ mua 9 qua cam, mỗi quả 800 đồng . Nếu mua mỗi quả với giá rẻ hơn 200 đồng thì số tiền đó đủ mua bao nhiêu quả?
Bài 1: Cửa hàng mua 1 tá bút chì hết số tiền là 18 000 đồng. Bạn Hằng mua 7 cái bút chì cùng loại hết bao nhiêu tiền?
Bài 2: Một người làm trong 2 ngày được trả 126.000 đồng tiền công. Hỏi với mức trả công như thế, người đó làm trong 3 ngày thì được trả bao nhiêu tiền công?
Bài 3: (HSKG)
Một phân xưởng làm một số công việc cần 120 người làm trong 20 ngày sẽ xong. Nay có thêm 30 người nữa thì làm trong bao nhiêu ngày sẽ xong?
Bài 1: 14 người làm một công việc phải mất 10 ngày mới xong. Nay muốn làm trong 1 tuần thì cần bao nhiêu người làm?
Bài 2: Có 5 máy bơm làm liên tục trong 18 giờ thì hút cạn một hồ nước. Nay muốn hút hết nước trong 10 giờ thì bao nhiêu máy bơm như thế?
Advertisement
Bài 3: (HSKG)
Cứ 15 công nhân sửa xong một đoạn đường phải hết 6 ngày. Nay muốn sửa xong đoạn đường đó trong 5 ngày thì cần bổ xung thêm bao nhiêu công nhân?
Bài 1: Một thúng đựng trứng gà và trứng vịt có tất cả 128 quả. Số trứng gà bằng số trứng vịt. Hỏi trong thúng có bao nhiêu quả trứng gà? Có bao nhiêu quả trứng vịt?
Bài 2: Có một số tiền mua kẹo Trung thu. Nếu mua loại 5000 đồng một gói thì được 18 gói. Hỏi cũng với số tiền đó, nếu mua kẹo loại 7500 đồng một gói thì mua được mấy gói như thế?
Bài 3: (HSKG)
Theo dự định, một xưởng dệt phải làm trong 15 ngày, mỗi ngày dệt được 300 sản phẩm thì mới hoàn thành kế hoạch. Nay do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày dệt được 450 sản phẩm. Hỏi xưởng đó làm trong bao nhiêu ngày thì hoàn thành kế hoạch?
….
Toán Lớp 4 Bài 2: Ôn Tập Các Phép Tính Trong Phạm Vi 100 000 Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Kết Nối Tri Thức Trang 9, 10, 11
Tính nhẩm.
Lời giải:
a) 8 000 + 7 000
Nhẩm: 8 nghìn + 7 nghìn = 15 nghìn
Vậy 8 000 + 7 000 = 15 000
16 000 – 9 000
Nhẩm: 16 nghìn – 9 nghìn = 7 nghìn
Vậy 16 000 – 9 000 = 7 000
25 000 + 30 000
Nhẩm: 25 nghìn + 30 nghìn = 55 nghìn
Vậy 25 000 + 30 000 = 55 000
b) 46 000 + 4 000 + 9 000 = 50 000 + 9 000 = 59 000
73 000 – 3 000 – 50 000 = 70 000 – 50 000 = 20 000
32 000 + 5 000 – 17 000 = 37 000 – 17 000 = 20 000
Đặt tính rồi tính.
8 254 + 6 392 36 073 – 847 58 623 + 25 047 74 528 + 16 240
Lời giải:
Tính giá trị của biểu thức.
a) 57 670 – (29 653 – 2 653)
b) 16 000 + 8 140 + 2 760
Lời giải:
a) 57 670 – (29 653 – 2 653) = 57 670 – 27 000
= 30 670
b) 16 000 + 8 140 + 2 760 = 16 000 + (8 140 + 2 760)
= 16 000 + 10 900
= 26 900
Giá một hộp bút là 16 500 đồng, giá một ba lô học sinh nhiều hơn giá một hộp bút là 62 500 đồng. Mẹ An mua cho An một hộp bút và một ba lô học sinh. Hỏi mẹ của An phải trả người bán hàng bao nhiêu tiền?
Lời giải:
Tóm tắt
1 hộp bút:16 500 đồng
1 ba lô: nhiều hơn giá 1 hộp bút 62 500 đồng
1 hộp bút + 1 ba lô: ? đồng
Bài giải
Giá tiền một ba lô học sinh là:
16 500 + 62 500 = 79 000 (đồng)
Mẹ của An phải trả người bán hàng số tiền là:
16 500 + 79 000 = 95 500 (đồng)
Đáp số: 95 500 đồng
Lời giải:
80 000 : 2 = 40 000
6 000 × 4 = 24 000
5 000 × 8 = 40 000
90 000 : 3 = 30 000
Advertisement
20 000 × 2 = 40 000
Vậy các phép tính có cùng kết quả là:
80 000 : 2 = 5 000 × 8 = 20 000 × 2 = 40 000
Đặt tính rồi tính.
5 071 x 9 17 218 x 4 58 472 : 8 91 503 : 7
Lời giải:
Có 4 xe ô tô, mỗi xe chở 4 500 kg gạo đến giúp đỡ đồng bào vùng bị lũ lụt. Dự kiến tất cả số gạo đó được chia đều cho 5 xã. Hỏi mỗi xã sẽ nhận được bao nhiêu ki – lô – gam gạo?
Lời giải:
Tóm tắt
Có: 4 xe ô tô
Mỗi xe: 4 500 kg
Chia đều cho 5 xã
Mỗi xã: ? kg
Bài giải
4 xe ô tô chở được tất cả số gạo là:
4 500 × 4 = 18 000 (kg)
Mỗi xã sẽ nhận được số ki – lô – gam gạo là:
18 000 : 5 = 3 600 (kg)
Đáp số: 3 600 kg gạo
Tính giá trị của biểu thức.
a) 6 000 × 5 : 3
b) 13 206 × (36 : 9)
Lời giải:
a) 6 000 × 5 : 3 = 30 000 : 3
= 10 000
b) 13 206 × (36 : 9) = 13 206 × 4
= 52 824
Chọn câu trả lời đúng
a) Tổng của 53 640 và 8 290 là:
A. 61 830
B. 61 930
C. 51 930
D. 60 930
b) Hiệu của 68 497 và 35 829 là:
A. 31 668
B. 32 568
C. 32 678
D. 32 668
c) Tích của 29 073 và 3 là:
A. 67 219
B. 87 019
C. 87 219
D. 87 291
d) Thực hiện phép tính 54 658 : 9 được:
A. Thương là 6 073 và số dư là 1
B. Thương là 673 và số dư là 1
C. Thương là 6 072 và số dư là 10
D. Thương là 672 và số dư là 1
Lời giải:
a) Đáp án đúng là: B
b) Đáp án đúng là: D
c) Đáp án đúng là: C
d) Đáp án đúng là: A
Ở một nhà máy sản xuất đồ chơi trẻ em, tháng Một sản xuất được 12 960 sản phẩm. Số sản phẩm sản xuất được trong tháng Hai giảm đi 2 lần so với tháng Một. Hỏi tháng Hai nhà máy đó sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Tính giá trị của biểu thức.
a) (54 000 – 6 000) : 8
b) 43 680 – 7 120 × 5
Để phục vụ năm học mới, một cửa hàng nhập về 4 050 quyển sách tham khảo. Số sách giáo khoa nhập về gấp 5 lần số sách tham khảo. Hỏi cửa hàng đó nhập về tất cả bao nhiêu quyển sách giáo khoa và sách tham khảo?
Cập nhật thông tin chi tiết về Thể Tích Khối Chóp: Công Thức Và Bài Tập Ôn Tập Toán 12 trên website Xfsq.edu.vn. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!